Si tu veux dire par "automatiquement" que quand on clique sur le lien à la fin de la vidéo les personnes like la page instantanément, cela n'existe pas, car les seuls moyen officiels pour liker une page facebook sont:

- cliquer sur le bouton j'aime sur la page
- mettre en place un bouton j'aime(code html).

Ceci bien entendu pour éviter le clickjacking au j'aime facebook(technique qui consiste à faire liker une page en cliquant sur un lien ou tout autre chose, ça peut être le fond d'une page, une image, bref plein de chose, tout cela dans le but de tromper l'utilisateur).

En effet, si facebook permettait ce genre de lien, il serait facile de faire un truc par exemple comme ceci:

Je mets une photo d'un chat trop mignon et je dis : clique sur la photo pour aimer la page ! il y a des chats tout mignon ! et en fait quand le gars clique, ça aime la page "ma femme est barbue, mais ça tient chaud l'hiver", ce qui n'est pas la même chose et causera la risée de tous les contacts du pauvre malheureux :)
Ceci est bien entendu un exemple ^^

Je ne pense pas avoir vu de bouton j'aime dans une vidéo youtube, et après recherche sur le net, il ne semble rien exister dans ce sens, à mon avis pour les raisons que j'ai expliqué plus haut.

Après je connais un script de clickjacking facebook et ça serait possible de le mettre dans ton fichier php, mais à tes risques et périls, car si il y a plainte d'un user, facebook va supprimer ta page.